[발송배전기술사] 진행파의 반사와 투과!

다음은 발송배전기술사 계산문제 중 진행파의 반사와 투과에 대한 설명입니다.

진행파의 반사와 투과, 투과계수와 반사계수, 관계식 정리 순으로 서술하겠습니다.

[문제] 전압·전류의 진행파에서 전압 투과계수($r_{e}$), 전류 투과계수($r_{i}$) 및 반사계수($ \beta $)를 유도하고, 아래의 관계식이 맞음을 설명하시오.

관계식 $r_{e}- \beta =1$               $r_{i}+ \beta =1$

[답]

1. 진행파의 반사와 투과

  1) 진행파는 Surge의 갑작스런 변화로 생기며, 변이점에 도달한 Surge는 일부 반사되고, 일부는 투과된다.

  2) 즉, 진행파는 3개의 파형요소로 변화하며, 선로 말단의 개방, 단락 또는 피뢰기의 접속이나 가공선과 지중선의 접속

      개소에서는 Surge Impedance가 변하게 되는데, 이 점을 변이점이라 한다.

 

2. 투과계수와 반사계수

  1) 전압의 투과계수($r_{e}$)  →  $r_{e} =  \frac{ V_{t}}{V_{i}}$

    · $V_{i}+  V_{r}=V_{t}$

    · $I_{i}+  I_{r}=I_{t}$  →  $I_{r}=I_{t} -I_{i}$

    · 옴의 법칙을 적용하면,

    · $V_{i} = Z_{1}I_{i}$  →  $I_{i}= \frac{V_{i} }{ Z_{1} }$,           $V_{r} = -Z_{1}I_{r}$  →  $I_{r}= -\frac{V_{r} }{ Z_{1} }$,           $V_{t} = Z_{2}I_{t}$  →  $I_{t}= \frac{V_{t} }{ Z_{2} }$

    · $V_{t}=V_{i}+  V_{r}=V_{i}-Z_{1}I_{r}=V_{i}-Z_{1}(I_{t} -I_{i})=V_{i}-Z_{1}(\frac{V_{t} }{ Z_{2} }- \frac{V_{i} }{ Z_{1} })$

              $=V_{i}- \frac{Z_{1}}{Z_{2}}   V_{t}+V_{i}= 2V_{i}-\frac{Z_{1}}{Z_{2}}   V_{t}$  →  $(1+\frac{Z_{1}}{Z_{2}} ) \, \, V_{t} = 2V_{i}$

    ∴ $V_{t} =\frac{2Z_{2}}{Z_{2}+Z_{1}} V_{i}=r_{e} \, V_{i}$   ·  ·  ·  ①

  2) 전압의 반사계수($ \beta $)  →  $ \beta  =  \frac{ V_{r}}{V_{i}}$

    · $V_{r}=V_{t}- V_{i}=\frac{2Z_{2}}{Z_{2}+Z_{1}} V_{i}-V_{i}=\frac{Z_{2}-Z_{1}}{Z_{2}+Z_{1}} V_{i}= \beta \, V_{i}$   ·  ·  ·  ②

  3) 전류의 투과계수($r_{i}$)  →  $r_{i} =  \frac{ I_{t}}{I_{i}}$

    · $I_{t}=\frac{V_{t} }{ Z_{2} }=\frac{1 }{ Z_{2} }· \frac{2Z_{2}}{Z_{2}+Z_{1}} V_{i}=\frac{2}{Z_{2}+Z_{1}} V_{i}=\frac{2}{Z_{2}+Z_{1}} Z_{1}I_{i}$$=\frac{2Z_{1}}{Z_{2}+Z_{1}}I_{i} = r_{i}\,I_{i}$   ·  ·  ·  ③

  4) 전류의 반사계수  →  $\frac{ I_{r}}{I_{i}}=- \beta $

    · $I_{r}=-\frac{V_{r} }{ Z_{1} }=-\frac{1 }{ Z_{1} } · \frac{Z_{2}-Z_{1}}{Z_{2}+Z_{1}} V_{i}=-\frac{1 }{ Z_{1} } · \frac{Z_{2}-Z_{1}}{Z_{2}+Z_{1}} Z_{1}I_{i}$$=- \frac{Z_{2}-Z_{1}}{Z_{2}+Z_{1}}I_{i} = - \beta \,I_{i}$   ·  ·  ·  ④

 

3. 관계식 정리

  1) $r_{e}- \beta =1$ 증명

    · 식 ①, ②에서 $V_{t}=r_{e} \, V_{i}$         ∴ $r_{e}= \frac{V_{t}}{V_{i}}$,         $V_{r}= \beta  \, V_{i}$         ∴ $ \beta = \frac{V_{r}}{V_{i}}$ 이므로

    · $r_{e}-\beta = \frac{V_{t}}{V_{i}} -  \frac{V_{r}}{V_{i}}= \frac{V_{t}-V_{r}}{V_{i}}=  \frac{V_{i}}{V_{i}}=1$

  2) $r_{i}+ \beta =1$ 증명

    · 식 ③, ④에서 $I_{t}=r_{i} \, I_{i}$         ∴ $r_{i}= \frac{I_{t}}{I_{i}}$,         $I_{r}= -\beta  \, I_{i}$         ∴ $\beta = -\frac{I_{r}}{I_{i}}$ 이므로

    · $r_{i}+\beta = \frac{I_{t}}{I_{i}} -  \frac{I_{r}}{I_{i}}= \frac{I_{t}-I_{r}}{I_{i}}=  \frac{I_{i}}{I_{i}}=1$

  3) 위식에서 $-\beta$란 전압과 전류의 반사파는 반대 극성(위상차 180˚)이므로, 전압이 정반사인 경우 전류는 부반사임을

      의미한다.

  4) 반사에 대한 종단의 개방과 단락의 경우의 예

     (1) 종단이 개방된 경우($Z_{2} = \infty $)

         · $V_{r}=\frac{Z_{2}-Z_{1}}{Z_{2}+Z_{1}} V_{i}=\frac{ \infty -Z_{1}}{ \infty +Z_{1}} V_{i}=V_{i}$(정반사)  →   반사계수 $\beta =1$

         · $V_{t} =\frac{2Z_{2}}{Z_{2}+Z_{1}} V_{i}=\frac{2 \infty }{ \infty +Z_{1}} V_{i}=2V_{i}$  →   투과계수 $r_{e}=2$

         · 위에서와 같이 종단이 개방된 경우, 종단에서의 전압은 입사파와 반사파가 중첩되어 입사파의 2배로 상승함을

           알 수 있다.

         · $I_{r}=-\frac{Z_{2}-Z_{1}}{Z_{2}+Z_{1}} I_{i}=-\frac{ \infty -Z_{1}}{ \infty +Z_{1}} I_{i}=-I_{i}$(부반사)  →   반사계수 $\beta =-1$

         · $I_{t} =\frac{2Z_{1}}{Z_{2}+Z_{1}} I_{i}=\frac{2Z_{1} }{ \infty +Z_{1}} I_{i}=0$  →   투과계수 $r_{i}=0$

         · 위에서와 같이 종단이 개방된 경우, 종단에서의 전류는 입사파와 부반사에 의해 「0」이 된다.

     (2) 종단이 단락된 경우($Z_{2} = 0$)

         · $V_{r}=\frac{Z_{2}-Z_{1}}{Z_{2}+Z_{1}} V_{i}=\frac{ 0 -Z_{1}}{ 0 +Z_{1}} V_{i}=-V_{i}$(부반사)  →   반사계수 $\beta =1$

         · $V_{t} =\frac{2Z_{2}}{Z_{2}+Z_{1}} V_{i}=\frac{2  \times 0 }{ 0 +Z_{1}} V_{i}=0$  →   투과계수 $r_{e}=0$

         · $I_{r}=-\frac{Z_{2}-Z_{1}}{Z_{2}+Z_{1}} I_{i}=-\frac{ 0 -Z_{1}}{ 0 +Z_{1}} I_{i}=I_{i}$(정반사)  →   반사계수 $\beta =1$

         · $I_{t} =\frac{2Z_{1}}{Z_{2}+Z_{1}} I_{i}=\frac{2Z_{1} }{ 0 +Z_{1}} I_{i}=2 I_{i}$  →   투과계수 $r_{i}=2$

         · 위에서와 같이 종단이 단락된 경우, 종단에서의 전압은 입사파와 부반사에 의해 「0」이 되며, 종단에서의

           전류는 입사파와 반사파가 중첩되어 입사파의 2배로 상승함을 알 수 있다.

 

 

 

오늘은 발송배전기술사 계산문제로 나올 법한 진행파의 반사와 투과에 대하여 알아 보았습니다.